Học TậpLớp 9

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 là tài liệu bao gồm 34 trang, tuyển tập toàn bộ lý thuyết về phương pháp và bài tập phương trình vô tỉ có đáp án chi tiết kèm theo.

Hy vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức đặt được kết quả thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 đạt được kết quả cao. Nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

1/ sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array}right.

2/ sqrt{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2}(x)end{array}right.

3/ sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}=sqrt{h(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)+g(x)+2 sqrt{f(x) cdot g(x)}=h(x)end{array}right.

4 / sqrt[2 n]{f(x)}=sqrt[2 n]{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.

5/ sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2 n}(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: sqrt{x+1}=x-1 (1)

HD: (1) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x-1 geq 0 \ x+1=(x-1)^{2}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x^{2}-3 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x=3end{array} Leftrightarrow x=3right.right.right.

Bài 2: Giải phương trình: x-sqrt{2 x+3}=0

Bài 3: Giải phương trình:sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x}

HD: Ta có: sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x} Leftrightarrow sqrt{x+4}=sqrt{1-2 x}+sqrt{1-x}

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}1-2 x geq 0 \ 1-x geq 0 \ x+4=1-2 x+1-x+2 sqrt{(1-2 x)(1-x)}end{array}right.

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1=sqrt{2 x^{2}-3 x+1}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1 geq 0 \ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ x^{2}+7 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ {left[begin{array}{l}x=0 \ x=-7end{array} Leftrightarrow x=0right.}end{array}right.right.right.right.

Bài 4: Giải phương trình: sqrt{x-2}-3 sqrt{x^{2}-4}=0

HD: ĐK: left{begin{array}{l}x-2 geq 0 \ x^{2}-4 geq 0end{array} Leftrightarrow x geq 2(1)right.

Leftrightarrow sqrt{x-2}-3 sqrt{(x-2)(x+2)}=0

Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x - 2 } = 0 } \ { ( 1 - 3 sqrt { x + 2 } ) = 0 } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2 \ x=frac{-17}{9} end{array}right.right.

Kết hợp (1) và (2) ta được: mathrm{x}=2

Bài 5. Giải phương trình : sqrt{sqrt{3}-x}=x sqrt{sqrt{3}+x}

HD:Đk:0 leq x leq sqrt{3} khi đó pt đã cho tương đương:

x^{3}+sqrt{3} x^{2}+x-sqrt{3}=0 Leftrightarrowleft(x+frac{1}{sqrt{3}}right)^{3}=frac{10}{3 sqrt{3}} Leftrightarrow x=frac{sqrt[3]{10}-1}{sqrt{3}}
Bài 6. Giải phương trình sau : 2 sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4

HD:Đk: x geq-3 phương trình tương đương :

(1+sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \ { sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1 \ x=frac{-5-sqrt{97}}{18} end{array}right.right.

Bài 7. Giải phương trình sau : 2+3 sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}

HD:mathrm{pt} Leftrightarrow(sqrt[3]{x+2}-sqrt[3]{3 x})^{3}=0 Leftrightarrow x=1

Bài 8. Giải và biện luận phương trình:sqrt{mathrm{x}^{2}-4}=mathrm{x}-mathrm{m}

………..

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

sqrt{f^{2}(x)}=g(x) Leftrightarrow|f(x)|=g(x) Leftrightarrow begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) geq 0) \ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)end{cases}

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: sqrt{mathrm{x}^{2}-4 mathrm{x}+4}+mathrm{x}=8(1)

underline{mathrm{HD}}:(1) Leftrightarrow sqrt{(mathrm{x}-2)^{2}}=8-mathrm{x} quad Leftrightarrow|mathrm{x}-2|=8-mathrm{x}

– Nếu x<2:(1) Rightarrow 2-x=8-x (vô nghiệm)

– Nếu mathrm{x} geq 2:(1) Rightarrow mathrm{x}-2=8-mathrm{x} Leftrightarrow mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: mathrm{x}=5

Bài 2: Giải phương trình

sqrt{x+2+2 sqrt{x+1}}+sqrt{x+10-6 sqrt{x+1}}=2 sqrt{x+2-2 sqrt{x+1}} (2)

underline{H D}:(2) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x+1 geq 0 \ sqrt{x+1+2 sqrt{x+1}+1}+sqrt{x+1-2.3 sqrt{x+1}+9}=2 sqrt{x+1-2 sqrt{x+1}+1}end{array}right.

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq-1 \ sqrt{x+1}+1+|sqrt{x+1}-3|=2|sqrt{x+1}-1|end{array}right.

Đặtmathrm{y}=sqrt{mathrm{x}+1}(mathrm{y} geq 0) Rightarrow phương trình left({ }^{*}right) đã cho trở thành: mathrm{y}+1+|mathrm{y}-3|=2|mathrm{y}-1|

– Nếu 0 leq mathrm{y}<1: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2-2 mathrm{y} Leftrightarrow mathrm{y}=-1 (loại)

– Nếu 1 leq mathrm{y} leq 3: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2 mathrm{y}-2 Leftrightarrow mathrm{y}=3

– Nếu  (vô nghiệm)

Với mathrm{y}=3 Leftrightarrow mathrm{x}+1=9 Leftrightarrow mathrm{x}=8 (thoả mãn)

Vậy: mathrm{x}=8

Bài 3: Giải phương trình: sqrt{x-2+sqrt{2 x-5}}+sqrt{x+2+3 sqrt{2 x-5}}=7 sqrt{2}

mathrm{HD}: Ð mathrm{~K}: x geq frac{5}{2} mathrm{PT} Leftrightarrow sqrt{2 x-5+2 sqrt{2 x-5}+1}+sqrt{2 x-5+6 sqrt{2 x-5}+9}=14

Leftrightarrow|sqrt{2 x-5}+1|+|sqrt{2 x-5}+3|=14 Leftrightarrow sqrt{2 x-5}=5 Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn) Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: sqrt{x+2 sqrt{x-1}}+sqrt{x-2 sqrt{x-1}}=2

HD:ĐK:x geq 1

mathrm{Pt} Leftrightarrow sqrt{x-1+2 sqrt{x-1}+1}+sqrt{x-1-2 sqrt{x-1}+1}=2 Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+|sqrt{x-1}-1|=2

Nếu

Nếu x leq 2 mathrm{pt} Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+1-sqrt{x-1}=2 Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với forall x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:S={x in R mid 1 leq x leq 2}

…………………

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 là tài liệu bao gồm 34 trang, tuyển tập toàn bộ lý thuyết về phương pháp và bài tập phương trình vô tỉ có đáp án chi tiết kèm theo.

Hy vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức đặt được kết quả thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 đạt được kết quả cao. Nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

1/ sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array}right.

2/ sqrt{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2}(x)end{array}right.

3/ sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}=sqrt{h(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)+g(x)+2 sqrt{f(x) cdot g(x)}=h(x)end{array}right.

4 / sqrt[2 n]{f(x)}=sqrt[2 n]{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.

5/ sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2 n}(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: sqrt{x+1}=x-1 (1)

HD: (1) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x-1 geq 0 \ x+1=(x-1)^{2}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x^{2}-3 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x=3end{array} Leftrightarrow x=3right.right.right.

Bài 2: Giải phương trình: x-sqrt{2 x+3}=0

Bài 3: Giải phương trình:sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x}

HD: Ta có: sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x} Leftrightarrow sqrt{x+4}=sqrt{1-2 x}+sqrt{1-x}

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}1-2 x geq 0 \ 1-x geq 0 \ x+4=1-2 x+1-x+2 sqrt{(1-2 x)(1-x)}end{array}right.

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1=sqrt{2 x^{2}-3 x+1}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1 geq 0 \ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ x^{2}+7 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ {left[begin{array}{l}x=0 \ x=-7end{array} Leftrightarrow x=0right.}end{array}right.right.right.right.

Bài 4: Giải phương trình: sqrt{x-2}-3 sqrt{x^{2}-4}=0

HD: ĐK: left{begin{array}{l}x-2 geq 0 \ x^{2}-4 geq 0end{array} Leftrightarrow x geq 2(1)right.

Leftrightarrow sqrt{x-2}-3 sqrt{(x-2)(x+2)}=0

Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x - 2 } = 0 } \ { ( 1 - 3 sqrt { x + 2 } ) = 0 } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2 \ x=frac{-17}{9} end{array}right.right.

Kết hợp (1) và (2) ta được: mathrm{x}=2

Bài 5. Giải phương trình : sqrt{sqrt{3}-x}=x sqrt{sqrt{3}+x}

HD:Đk:0 leq x leq sqrt{3} khi đó pt đã cho tương đương:

x^{3}+sqrt{3} x^{2}+x-sqrt{3}=0 Leftrightarrowleft(x+frac{1}{sqrt{3}}right)^{3}=frac{10}{3 sqrt{3}} Leftrightarrow x=frac{sqrt[3]{10}-1}{sqrt{3}}
Bài 6. Giải phương trình sau : 2 sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4

HD:Đk: x geq-3 phương trình tương đương :

(1+sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \ { sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1 \ x=frac{-5-sqrt{97}}{18} end{array}right.right.

Bài 7. Giải phương trình sau : 2+3 sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}

HD:mathrm{pt} Leftrightarrow(sqrt[3]{x+2}-sqrt[3]{3 x})^{3}=0 Leftrightarrow x=1

Bài 8. Giải và biện luận phương trình:sqrt{mathrm{x}^{2}-4}=mathrm{x}-mathrm{m}

………..

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

sqrt{f^{2}(x)}=g(x) Leftrightarrow|f(x)|=g(x) Leftrightarrow begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) geq 0) \ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)end{cases}

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: sqrt{mathrm{x}^{2}-4 mathrm{x}+4}+mathrm{x}=8(1)

underline{mathrm{HD}}:(1) Leftrightarrow sqrt{(mathrm{x}-2)^{2}}=8-mathrm{x} quad Leftrightarrow|mathrm{x}-2|=8-mathrm{x}

– Nếu x<2:(1) Rightarrow 2-x=8-x (vô nghiệm)

– Nếu mathrm{x} geq 2:(1) Rightarrow mathrm{x}-2=8-mathrm{x} Leftrightarrow mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: mathrm{x}=5

Bài 2: Giải phương trình

sqrt{x+2+2 sqrt{x+1}}+sqrt{x+10-6 sqrt{x+1}}=2 sqrt{x+2-2 sqrt{x+1}} (2)

underline{H D}:(2) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x+1 geq 0 \ sqrt{x+1+2 sqrt{x+1}+1}+sqrt{x+1-2.3 sqrt{x+1}+9}=2 sqrt{x+1-2 sqrt{x+1}+1}end{array}right.

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq-1 \ sqrt{x+1}+1+|sqrt{x+1}-3|=2|sqrt{x+1}-1|end{array}right.

Đặtmathrm{y}=sqrt{mathrm{x}+1}(mathrm{y} geq 0) Rightarrow phương trình left({ }^{*}right) đã cho trở thành: mathrm{y}+1+|mathrm{y}-3|=2|mathrm{y}-1|

– Nếu 0 leq mathrm{y}<1: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2-2 mathrm{y} Leftrightarrow mathrm{y}=-1 (loại)

– Nếu 1 leq mathrm{y} leq 3: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2 mathrm{y}-2 Leftrightarrow mathrm{y}=3

– Nếu  (vô nghiệm)

Với mathrm{y}=3 Leftrightarrow mathrm{x}+1=9 Leftrightarrow mathrm{x}=8 (thoả mãn)

Vậy: mathrm{x}=8

Bài 3: Giải phương trình: sqrt{x-2+sqrt{2 x-5}}+sqrt{x+2+3 sqrt{2 x-5}}=7 sqrt{2}

mathrm{HD}: Ð mathrm{~K}: x geq frac{5}{2} mathrm{PT} Leftrightarrow sqrt{2 x-5+2 sqrt{2 x-5}+1}+sqrt{2 x-5+6 sqrt{2 x-5}+9}=14

Leftrightarrow|sqrt{2 x-5}+1|+|sqrt{2 x-5}+3|=14 Leftrightarrow sqrt{2 x-5}=5 Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn) Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: sqrt{x+2 sqrt{x-1}}+sqrt{x-2 sqrt{x-1}}=2

HD:ĐK:x geq 1

mathrm{Pt} Leftrightarrow sqrt{x-1+2 sqrt{x-1}+1}+sqrt{x-1-2 sqrt{x-1}+1}=2 Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+|sqrt{x-1}-1|=2

Nếu

Nếu x leq 2 mathrm{pt} Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+1-sqrt{x-1}=2 Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với forall x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:S={x in R mid 1 leq x leq 2}

…………………

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button